Fue uno de los músicos de tango más importantes del siglo XX. Estudió armonía y música clásica y contemporánea con la compositora y directora de orquesta francesa Nadia Boulanger (1887-1979). En su juventud tocó y realizó arreglos orquestales para el bandoneonista, compositor y director Aníbal Troilo. Cuando comenzó a hacer innovaciones en el tango en lo que respecta a ritmo, timbre y armonía, fue muy criticado por los tangueros de la «Guardia Vieja», ortodoxos en cuanto a ritmo, melodía y orquestación. En los años posteriores sería reivindicado por intelectuales y músicos de rock.
Cuando en los años cincuenta y sesenta los tangueros ortodoxos —que lo consideraban «el asesino del tango»— decretaron que sus composiciones no eran tango, Piazzolla respondió con una nueva definición: «Es música contemporánea de Buenos Aires». Sus obras no eran difundidas por las estaciones radiodifusoras y los comentaristas seguían atacando su arte. Los sellos discográficos no se atrevían a editarla. Lo consideraron un snob irrespetuoso que componía música híbrida, con exabruptos de armonía disonante.
Nacido en Mar del Plata, Argentina en 1921, hijo de padres inmigrantes italianos de la ciudad de Trani (en la región de Puglia). Su padre le puso su nombre por un amigo, Astor Bolognini, corredor de moto y primer violonchelista de la Orquesta Sinfónica de Chicago. Piazzolla vivió gran parte de su niñez con su familia en Nueva York, donde desde muy joven entró en contacto tanto con el jazz como con la música barroca de Bach.
Mientras vivió allí, aprendió a hablar fluidamente cuatro idiomas: castellano, inglés, francés e italiano. Comenzó a tocar el bandoneón en 1927 cuando su padre, nostálgico de su Italia natal, le compró uno en una casa de empeños por 18 dólares. En 1933 tomó clases con Bela Wilda, un pianista húngaro discípulo de Serguéi Rachmáninov.
El 4 de agosto de 1990 en París, sufrió una trombosis cerebral, de la que finalmente fallecería dos años después en Buenos Aires el 4 de julio de 1992, a los 71 años.
